Δύο χρυσά και δύο Αργυρά μετάλλια στο διεθνή διαγωνισμό μαθηματικών SEEMOUS 2016

Γράφει: Παναγιώτης Σιδηρόπουλος

Σημαντικές διακρίσεις πέτυχε το Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο σε διεθνείς διαγωνισμούς, καθώς ομάδα φοιτητών κατέκτησε το χρυσό μετάλλιο στον διεθνή διαγωνισμό μαθηματικών SEEMOUS 2016.

Συγκεκριμένα, η ομάδα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρίας στον διαγωνισμό Seemous 2016 διέπρεψε για άλλη μια φορά κατακτώντας δύο χρυσά και δύο Αργυρά μετάλλια. Ο διαγωνισμός διεξήχθη στην Κύπρο από 1-6 Μαρτίου 2016. Ο φοιτητής του ΕΚΠΑ Αντώνης Ζητρήδης, ισοβάθμησε στην πρώτη θέση έχοντας πετύχει άριστη επίδοση 40/40 λύνοντας όλα τα προβλήματα που είχαν θέσει οι διογρανωτές, ενώ ανάλογη επίδοση είχε και ο φοιτητής Μιχάλης Σαράντης με συνολική βαθμολογία 38/40. Αργυρά μετάλλια κατέκτησαν οι φοιτητές του ΕΜΠ Νίκος Μουζάκης 33/40 και Πέτρος Ντούνης 22/40. Στην ομάδα συμμετείχε και o φοιτητής του ΕΚΠΑ Δημήτρης Κοσμίδης.

Την ομάδα συνόδευε ο υποψήφιος διδάκτορας του τμήματος Μαθηματικών κ. Σιλουανός Μπραζίτικος. Η κοινή ομάδα φοιτητών του ΕΚΠΑ και του ΕΜΠ συνεχίζει έτσι και φέτος μια μακρά παράδοση σημαντικών επιτυχιών σε φοιτητικούς Μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Ο διαγωνισμός SEEMOUS (South-Eastern European Mathematics Olympiad for University Students) είναι ένας ετήσιος μαθηματικός διαγωνισμός που ξεκίνησε το ακαδημαϊκό έτος 2006-07, στον οποίο συμμετέχουν πρωτοετείς και δευτεροετείς φοιτητές. Οι φοιτητές διαγωνίζονται μια ημέρα σε τέσσερα προβλήματα, τα οποία είναι μεταφρασμένα στη γλώσσα του κάθε διαγωνιζόμενου και αφορούν την ύλη βασικών μαθημάτων που διδάσκονται στα δύο πρώτα έτη σπουδών σε Τμήματα Μαθηματικών.

Κάθε χρόνο παραδίδονται μαθήματα προετοιμασίας στους ενδιαφερόμενους φοιτητές από μέλη ΔΕΠ του Τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ και της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ. Τα τελευταία χρόνια τη διδασκαλία των μαθημάτων υποστηρίζουν ενεργά και φοιτητές που είχαν διακριθεί σε παλαιότερους διαγωνισμούς. Τα μαθήματα ξεκινούν κάθε χρόνο στα μέσα Νοεμβρίου, ενώ τον Ιανουάριο γίνεται διαγωνισμός για την επιλογή της εξαμελούς Εθνικής ομάδας. Εκτός από την Εθνική ομάδα, ομάδες μπορούν να στείλουν και επιμέρους Πανεπιστήμια.

Δείτε τη σχετική συζήτηση στο forum του mathematica.gr.

Τα προβλήματα της διοργάνωσης 2016 (πηγή κειμένου, σε μορφή pdf)

Problem 1. Let ${f}$ be a continuous and decreasing real valued function defined on ${[0,\pi/2]}$ . Prove that

$\displaystyle \int_{\pi/2-1}^{\pi/2} f(x)dx \leq \int_0^{\pi/2} f(x)\cos x dx \leq \int_0^1 f(x) dx.$

When do we have equality?

Problem 2. a) Prove that for every matrix ${X \in \mathcal{M}_2(\Bbb{C})}$ there exists a matrix ${Y \in \mathcal{M}_2(\Bbb{C})}$ such that ${Y^3 = X^2}$ .

b) Prove that there exists a matrix ${A \in \mathcal{M}_3(\Bbb{C})}$ such that ${Z^3 \neq A^2}$ for all ${Z \in \mathcal{M}_3(\Bbb{C})}$ .

Problem 3. Let ${A_1,A_2,...,A_k}$ be idempotent matrices ( ${A_i^2 = A_i}$ ) in ${\mathcal{M}_n(\Bbb{R})}$ . Prove that

$\displaystyle \sum_{i=1}^k N(A_i) \geq \text{rank} \left(I-\prod_{i=1}^k A_i\right),$

where ${N(A_i) = n-\text{rank}(A_i)}$ and ${\mathcal{M}_n(\Bbb{R})}$ is the set of ${n \times n}$ matrices with real entries.

Problem 4. Let ${n \geq 1}$ be an integer and set

$\displaystyle I_n = \int_0^\infty \frac{\arctan x}{(1+x^2)^n}dx.$

Prove that

a) $\sum_{i=1}^\infty \frac{I_n}{n} =\frac{\pi^2}{6}.$

b) $\int_0^\infty \arctan x \cdot \ln \left( 1+\frac{1}{x^2}\right) dx = \frac{\pi^2}{6}$ .

Some hints follow.

Hints. 1. Observe that adding a constant to ${f}$ does not affect the inequality. To solve the first inequality, translate ${f}$ so that it is positive and apply Chebyshev’s integral inequality for a couple of two decreasing functions. A change of variables and the fact that ${f}$ is decreasing allow to conclude. For the second inequality, translate ${f}$ into the negatives and change the sign. Apply the same Chebyshev’s inequality for a positive-decreasing couple of functions. A change of variables allows us again to conclude. Equality occurs if ${f}$ is constant.

2. a) If ${X}$ has simple eigenvalues then it is diagonal and we can use its diagonal decomposition to find ${Y}$ . If ${X}$ has double eigenvalues then we use Cayley Hamilton to find ${Y}$ .

b) Just take ${A}$ to be a Jordan block.

3. Use Sylvester inequality in the form ${n- \text{rank}(A)+\text{rank}(AB) \geq \text{rank}(B)}$ and the fact that the rank of the product is less than the rank of each matrix. Note that starting with ${B = I-A_1...A_k}$ and ${A = A_1}$ allows to reduce the problem to ${k-1}$ matrices. Inductively we only need to show the case ${k=1}$ which is obvious.